为了弄明白子空间投影是怎么一回事，我们遵循从低维到高维的规律，先从二维开始讲起。

1. 二维空间

如下图所示（我随手画的，不要介意），设向量p是向量b在向量a上面的投影，向量e垂直于向量p及a。

于是我们可以得到这样的一个等式：

$$ a^Te = 0 $$

即

$$a^T(b-xa) = 0\tag{1}$$

解得：

$$x = \frac{a^Tb}{a^Ta}$$

于是向量p可表示为：

$$p = xa = a\frac{a^Tb}{a^Ta}\tag{2}$$

现在我们设

$$p = Pb\tag{3}$$

我们把这个矩阵P称为$\color{red}{投影矩阵}$。

比较式(2)和式(3)，立即可以知道：

$$\color{red}{P = \frac{a \cdot a^T}{a^T \cdot a}}\tag{4}$$

2. 三维空间

为了让你们能够有一个直观的认识，我仍然用我高超的画艺画了一幅美图：

假设图中的那个平面由向量$a_1$和$a_2$构成，令

$$A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \end{bmatrix}$$

由于向量p在平面上，所以p可以表示为：

$$p = \hat{x_1}a_1 + \hat{x_2}a_2\tag{5}$$

即

$$p = A\hat{x}\tag{6}$$

与二维空间类似，设向量p是向量b在平面上的投影，向量e垂直于那个平面，当然也垂直于向量p，同样也垂直于向量$a_1$和$a_2$,于是可以得到方程组：

$$ \begin{cases} a_1^T(b - A\hat{x}) = 0 \\ a_2^T(b - A\hat{x}) = 0 \\ \end{cases}\tag{7} $$

即

$$ \begin{bmatrix} a_1^T \\a_2^T \end{bmatrix}(b - A\hat{x}) = \begin{bmatrix} 0 \\0 \end{bmatrix} $$

进一步化简得到：

$$A^T(b - A\hat{x}) = 0\tag{8}$$

解得：

$$\hat{x} = (A^TA)^{-1}(A^Tb)\tag{9}$$

将(9)代入(6)得：

$$p = A\hat{x} = A(A^TA)^{-1}A^Tb\tag{10}$$

与二维空间类似，我们设

$$p = Pb\tag{11}$$

比较式(10)和式(11)，立即可以得到：

$$\color{red}{P = A(A^TA)^{-1}A^T}\tag{12}$$

这就是投影矩阵的表达式！